Cálculo de potencias de matrices

This guide explains matrix powers, gives examples, highlights common mistakes, and provides practice problems with collapsible answers. Designed for use with a Matrix Power Calculator.

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Definición de la potencia de una matriz

For a square matrix $A$ and positive integer $n$, the matrix power $A^n$ is defined as the repeated multiplication of $A$ by itself:

$$ A^n = \underbrace{A \cdot A \cdot \ldots \cdot A}_{n \text{ times}}. $$

Además:

• $A^1 = A$
• $A^0 = I$ (identity matrix of the same size as $A$)
• $A^2 = A \cdot A$ and $A^3 = A \cdot A \cdot A$, etc.

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Propiedades útiles

• $A^m \cdot A^n = A^{m+n}$
• $(A^m)^n = A^{mn}$
• If $AB = BA$ then $(AB)^n = A^nB^n$ (requires commutativity)
• Solo las matrices cuadradas tienen potencias (la multiplicación de matrices debe ser válida)

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Ejemplo 1 (2×2)

Compute $A^2$ where:

$$ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

Solución:

$$ A^2 = A\cdot A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}. $$

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Example 2 (includes $A^3$)

Compute $A^3$ for:

$$ A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Step 1: compute $A^2$

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}. $$

Step 2: compute $A^3$

$$ A^3 = A \cdot A^2= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 12 & 8 \end{pmatrix}. $$

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Errores comunes y consejos

• Only square matrices have powers — dimension mismatch otherwise.
• Do not multiply each entry independently — matrix exponentiation is NOT scalar exponentiation.
• Matrix multiplication is not commutative — $AB \neq BA$, so simple shortcuts often fail.
• $A^0$ is always the identity matrix for square $A$, not the zero matrix.

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Problemas de práctica (calcular)

Intenta calcular cada potencia de matriz. Haz clic para comprobar tus resultados.

Calcular potencias de matrices suele ser más sencillo si también usas la calculadora de determinante, la calculadora de rango y la calculadora de Jordan.

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