Resultados del cálculo
Cálculo de la pseudoinversa: definición y fórmula
The pseudo inverse of a matrix, also known as the Moore–Penrose inverse, is a generalized matrix inverse that works for both square and non-square matrices. For a matrix \( A \), its pseudo inverse is denoted as \( A^{+} \).
La pseudoinversa satisface las cuatro condiciones de Moore-Penrose:
\[ AA^{+}A = A \] \[ A^{+}AA^{+} = A^{+} \] \[ (AA^{+})^{T} = AA^{+} \] \[ (A^{+}A)^{T} = A^{+}A \]
Fórmulas cerradas:
- If \(A\) has full column rank: \[ A^{+} = (A^{T}A)^{-1}A^{T} \]
- If \(A\) has full row rank: \[ A^{+} = A^{T}(AA^{T})^{-1} \]
- General case: computed using SVD \[ A = U\Sigma V^{T} \quad \Rightarrow \quad A^{+} = V\Sigma^{+}U^{T} \]
Examples
Ejemplo 1
Compute the pseudo inverse of:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \]
Como esta matriz tiene rango de columna completo:
\[ A^{+} = (A^{T}A)^{-1}A^{T} \]
Pasos:
\[ A^{T}A = \begin{bmatrix} 10 & 14 \\ 14 & 20 \end{bmatrix} \]
\[ (A^{T}A)^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -3.5 \\ -3.5 & 2.5 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{(10)(20)-(14)(14)} \]
Final result:
\[ A^{+} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \]
Ejemplo 2
Compute the pseudo inverse of:
\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
Este es un vector fila, por lo tanto:
\[ B^{+} = \frac{1}{BB^{T}} B^{T} \]
\[ BB^{T} = 1 \]
\[ B^{+} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
Errores comunes
- Confundir la pseudoinversa con la inversa común: no son lo mismo.
- Olvidar que las matrices no cuadradas también pueden tener pseudoinversa.
- Usar la fórmula incorrecta cuando la matriz no tiene rango completo por filas o por columnas.
- Ignorar que la SVD es necesaria en el caso general.
Problemas de práctica
Problema 1
Halla la pseudoinversa de:
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \]
Mostrar respuesta
\[ A^{+} = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
Problema 2
Find \(A^{+}\) for:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \]
Mostrar respuesta
\[ A^{+} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \]
Problema 3
Calcula la pseudoinversa:
\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \]
Mostrar respuesta
\[ A^{+} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]
Problema 4
Calcula la pseudoinversa usando SVD:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \]
Mostrar respuesta
\[ A^{+} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \]
La pseudo inversa es especialmente útil junto con RREF, los valores propios y la descomposición QR.
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