Calculadora de matrices

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A (3×3)
Filas: 3
Columnas: 3
B (3×3)
Filas: 3
Columnas: 3
Supports: fractions (1/2), decimals (0.5), constants (pi, e). Empty cells are treated as 0.
—

Resultados del cálculo

Calculadora RREF con pasos (Forma escalonada reducida)

Usa esta calculadora RREF con pasos para obtener la forma escalonada reducida de una matriz online con operaciones fila por fila.

Calculadora de forma escalonada reducida (RREF)

  • RREF con pasos
  • Forma escalonada por filas
  • Eliminación de Gauss-Jordan online

1. ¿Qué es la forma escalonada reducida por filas (RREF)?

The Reduced Row Echelon Form (RREF) of a matrix is a canonical form achieved by performing elementary row operations (Gauss–Jordan elimination). A matrix is in RREF when it satisfies:

  • All nonzero rows are above any rows of all zeros.
  • The leading entry (pivot) of each nonzero row is 1.
  • Each pivot is the only nonzero entry in its column.
  • Each pivot appears to the right of the pivot in the row above.

RREF is unique for every matrix and is widely used to solve linear systems, find the rank, and check independence.

2. Cómo calcular la forma escalonada reducida por filas (RREF)

The RREF is computed using the Gauss–Jordan elimination algorithm. Typical steps:

Paso 1: eliminación hacia adelante (crear ceros debajo de los pivotes)

Usa operaciones por filas para eliminar las entradas debajo de cada pivote.

Paso 2: normalizar el pivote a 1

$$ R_i := \frac{1}{a_{ii}} R_i $$

Paso 3: eliminación hacia atrás (eliminar arriba de los pivotes)

$$ R_j := R_j - k R_i $$ $$ k = a_{ji} $$

Repite hasta que cada pivote sea 1 y sea el único elemento no nulo de su columna.

3. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcula la forma escalonada reducida por filas (RREF) de:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix} $$

Realiza operaciones por filas (resumen):

$$ R_2 := R_2 - 2R_1 = [0, -1, 3] $$ $$ R_3 := R_3 + R_1 = [0, 1, 1] $$ $$ R_2 := -R_2 = [0, 1, -3] $$ $$ R_3 := R_3 - R_2 = [0, 0, 4] $$ $$ R_3 := \tfrac{1}{4}R_3 = [0,0,1] $$ $$ R_2 := R_2 + 3R_3 = [0,1,0] $$ $$ R_1 := R_1 + R_3 = [1,2,0] $$

RREF final:

$$ \mathrm{RREF}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Ejemplo 2

Calcula la forma escalonada reducida por filas (RREF) de:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 6 & 9 \\ -1 & -3 & -3 \end{bmatrix} $$

Nota: las filas son proporcionales. Pasos (resumen):

$$ R_2 := R_2 - 2R_1 = [0,0,3] $$ $$ R_3 := R_3 + R_1 = [0,0,0] $$ $$ R_2 := \tfrac{1}{3}R_2 = [0,0,1] $$ $$ R_1 := R_1 - 3R_2 = [1,3,0] $$

RREF final:

$$ \mathrm{RREF}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

4. Errores comunes

  • Forgetting to make pivots equal to 1: RREF requires pivots = 1.
  • Only clearing below pivots: RREF requires clearing both above and below pivots.
  • Not swapping when pivot = 0: Swap with a lower row that has a nonzero entry.
  • Arithmetic/sign errors: Mistakes with fractions and signs break the process.
  • Incorrectly treating non-square matrices: RREF applies to rectangular matrices too — it is not limited to square matrices.

5. Problemas de práctica

Intenta los problemas siguientes. Haz clic en "Mostrar respuesta" para ver los resultados de la RREF.

Ejercicio 1

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix} $$
Mostrar respuesta
$$ \mathrm{RREF} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Ejercicio 2

$$ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$
Mostrar respuesta
$$ \mathrm{RREF} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Ejercicio 3

$$ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ 4 & 9 & 6 \end{bmatrix} $$
Mostrar respuesta
$$ \mathrm{RREF} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Ejercicio 4

$$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 11 & 5 \end{bmatrix} $$
Mostrar respuesta
$$ \mathrm{RREF} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Preguntas Frecuentes (FAQ)

¿Qué es la forma RREF?

La forma escalonada reducida es una matriz donde cada pivote es 1 y todos los demás valores en su columna son cero.

¿La calculadora RREF muestra los pasos?

Sí, muestra cada operación fila por fila para que puedas entender el proceso completo.

La forma RREF está muy relacionada con la descomposición LU, los vectores propios y la multiplicación de matrices.

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