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Matriz adjunta (adjugada) - guía completa
The adjoint (or adjugate) matrix of a square matrix plays a central role in inverse matrix computation, determinants, and solving linear systems. This guide explains the definition, formula, worked examples, and practice problems for adjoint matrices.
1. Definición y fórmula de la matriz adjunta
For an \( n \times n \) matrix \( A \), the adjoint matrix, denoted as \( \text{adj}(A) \), is defined as:
\[ \text{adj}(A) = \left( C_{ij} \right)^T \]
Where:- \( C_{ij} \) is the cofactor of element \( a_{ij} \)
- Cofactor is computed as: \[ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} \]
- \( M_{ij} \) is the minor obtained by deleting row \( i \) and column \( j \)
Propiedad importante:
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \quad \text{(if } \det(A) \neq 0) \]
2. Ejemplos
Ejemplo 1
Halla la matriz adjunta de:
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \]Mostrar respuesta
Paso 1: calcular cofactores
\[ C = \begin{pmatrix} (+1)\cdot 1 & -4 \\ -3 & (+1)\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \]Paso 2: transponer la matriz de cofactores
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \]Ejemplo 2
Halla la matriz adjunta de:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix} \]Mostrar respuesta
La matriz de cofactores es:
\[ C = \begin{pmatrix} -12 & -2 & 10 \\ 8 & -4 & -4 \\ 6 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]Transponer para obtener la matriz adjunta:
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -12 & 8 & 6 \\ -2 & -4 & 2 \\ 10 & -4 & 3 \end{pmatrix} \]3. Errores comunes y consejos
- No confundas "matriz adjunta" con "traspuesta": la matriz adjunta usa cofactores.
- Be careful with signs \( (-1)^{i+j} \).
- Debes transponer la matriz de cofactores al final.
- If \(\det(A)=0\), adjoint still exists, but \(A^{-1}\) does not.
4. Problemas de práctica (con respuestas)
Exercise 1. Find the adjoint of: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} \]
Mostrar respuesta
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \]Exercise 2. Find the adjoint of: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]
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\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 4 \\ -4 & 6 & -12 \\ 2 & -2 & 5 \end{pmatrix} \]Exercise 3. True or False: If \(\det(A) = 0\), then \(\text{adj}(A)\) does not exist.
Mostrar respuesta
False. Adjoint always exists; only the inverse fails to exist.Exercise 4. Use the adjoint to compute the inverse of: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \]
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\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \det(A)=1 \] \[ A^{-1} = \text{adj}(A) \]La matriz adjunta se relaciona de forma natural con el rango de una matriz, los valores propios y la forma triangular.
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